第六部分
概率與統計萬能知識點及經典題型
Ⅰ
【考題分析】
1
、考試題型
:選擇填空
1
個,解答題:
18
(必考)
2
、考題分值:
17
分;
3
、解答題考點:
①頻率直方圖的應用,②線性回歸直線的應用,③獨立性檢驗和概率
4
、難度系數:
0.7-0.8
左右,(
120
分必須全對,
100
以上者全對)
【知識總結】
一、普通的眾數、平均數、中位數及方差
1
、
眾數
:一組數據中,出現次數最多的數。
2
、平均數
:①、常規平均數:
1
2
n
x
x
x
x
n
?
?
????
?
②、加權平均數:
1
1
2
2
1
2
n
n
n
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
?
3
、中位數:
從大到小或者從小到大排列,最中間或最中間兩個數的平均數。
4
、方差:
2
2
2
2
1
2
1
[(
)
(
)
(
)
]
n
s
x
x
x
x
x
x
n
?
?
?
?
?
????
?
二、頻率直方分布圖下的頻率
1
、頻率
=
小長方形面積:
f
S
y
d
?
?
?
距
;
頻率
=
頻數
/
總數
2
、頻率之和
:
1
2
1
n
f
f
f
?
?
???
?
?
;同時
1
2
1
n
S
S
S
?
?
???
?
?
;
三、頻率直方分布圖下的眾數、平均數、中位數及方差
1
、眾數:
最高小矩形底邊的中點。
2
、平均數:
1
1
2
2
3
3
n
n
x
x
f
x
f
x
f
x
f
?
?
?
?
???
?
1
1
2
2
3
3
n
n
x
x
S
x
S
x
S
x
S
?
?
?
?
???
?
3
、中位數:
從左到右或者從右到左累加,面積等于
0.5
時
x
的值。
4
、方差:
2
2
2
2
1
1
2
2
(
)
(
)
(
)
n
n
s
x
x
f
x
x
f
x
x
f
?
?
?
?
?
???
?
?
四、線性回歸直線方程
:
?
?
?
y
bx
a
?
?
其中:
1
1
2
2
2
1
1
(
)(
)
?
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x
y
nxy
b
x
x
x
nx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
?
?
a
y
bx
?
?
1
、線性回歸直線方程必過樣本中心
(
,
)
x
y
;
2
、
?
0
:
b
?
正相關;
?
0
:
b
?
負相關。
3
、線性回歸直線方程:
?
?
?
y
bx
a
?
?
的斜率
?
b
中,兩個公式中分子、分母對應也相等;中間可以推導得到。
五、回歸分析
1
、殘差
:
?
?
i
i
i
e
y
y
?
?
(殘差
=
真實值—預報值)。
分析:
?
i
e
越小越好;
2
、殘差平方和
:
2
1
?
(
)
n
i
i
i
y
y
?
?
?
,
分析:①意義:越小越好;
②計算:
2
2
2
2
1
1
2
2
1
?
?
?
?
(
)
(
)
(
)
(
)
n
i
i
n
n
i
y
y
y
y
y
y
y
y
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
3
、擬合度(相關指數)
:
2
2
1
2
1
?
(
)
1
(
)
n
i
i
i
n
i
i
y
y
R
y
y
?
?
?
?
?
?
?
?
,
分析:①
.
?
?
2
0,1
R
?
的常數;
②
.
越大擬合度越高;
4
、相關系數
:
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
y
nx
y
r
x
x
y
y
x
x
y
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
分析:①
.
[
1,1]
r
?
?
的常數;
②
.
0:
r
?
正相關;
0:
r
?
負相關
③
.
[0,0.25]
r
?
;相關性很弱;
(0.25,0.75)
r
?
;相關性一般;
[0.75,1]
r
?
;相關性很強;
六、獨立性檢驗
1
、
2
×
2
列聯表
:
2
、獨立性檢驗公式
①.
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n
ad
bc
k
a
b
c
d
a
c
b
d
?
?
?
?
?
?
②.犯錯誤上界
P
對照表
3
、獨立性檢驗步驟
①.計算觀察值
k
:
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n
ad
bc
k
a
b
c
d
a
c
b
d
?
?
?
?
?
?
;
②.查找臨界值
0
k
:由犯錯誤概率
P
,根據上表查找臨界值
0
k
;
③.下結論:
0
k
k
?
:即犯錯誤概率不超過
P
的前提下認為:
,
有
1-P
以上的把握認為:
;
0
k
k
?
:即犯錯誤概率超過
P
的前提認為:
,
沒有
1-P
以上的把握認為:
;
【經典例題】
題型
1
與莖葉圖的應用
例
1
(
2014
全國)某市為考核甲、乙兩部門的工作情況,學科網隨機訪問了
50
位市民。根據這
50
位市民
(
1
)分別估計該市的市民對甲、乙
部門評分的中位數;
(
2
)分別估計該市的市民對甲、乙
部門的評分做于
90
的概率;
(
3
)根據莖葉圖分析該市的市民對
甲、乙學科網兩部門的評價。
題型
2
頻率直方分布圖的應用
例
2
(
2015
廣東)某城市
100
戶居民的月平均用電量(單位:度),以
[
)
160,180
,
[
)
180,200
,
[
)
200,220
,
[
)
220,240
,
[
)
240,260
,
[
)
260,280
,
[
]
280,300
分組的頻率分布直方圖如圖
2
,
(
1
)求直方圖中
x
的值;
(
2
)求月平均用電量的眾數和中位數;
(
3
)在月平均用電量為
[
)
220,240
,
[
)
240,260
,
[
)
260,280
,
[
]
280,300
的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取
11
戶居民,則
月平均用電量在
[
)
220,240
的用戶中應抽取多少戶?
1
x
2
x
合計
1
y
a
b
a
b
?
2
y
c
d
c
d
?
合計
a
c
?
b
d
?
n