應用題
1.
（四川理
9
）
某運輸公司有
12
名駕駛員和
19
名工人，有
8
輛載重量為
10
噸的甲型卡車和
7
輛載重量為
6
噸的乙型卡車．某天需運往
A
地至少
72
噸的貨物，派用的每輛車虛滿載
且只運送一次．派用的每輛甲型卡車虛配
2
名工人，運送一次可得利潤
450
元；派用的
每輛乙型卡車虛配
1
名工人，運送一次可得利潤
350
元．該公司合理計劃當天派用兩類
卡車的車輛數，可得最大利潤
z=
A
．
4650
元
B
．
4700
元
C
．
4900
元
D
．
5000
元
【答案】
C
【解析】由題意設派甲，乙
,
x
y
輛，則利潤
450
350
z
x
y
?
?
，得約束條件
0
8
0
7
12
10
6
72
2
19
x
y
x
y
x
y
x
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
畫
出可行域在
12
2
19
x
y
x
y
?
?
?
?
?
?
?
的點
7
5
x
y
?
?
?
?
?
代入目標函數
4900
z
?
2.
（湖北理
10
）
放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，
這種現象稱為衰變。
假設在放射性同位素銫
137
的衰變過程中，
其含量
M
（單位：
太貝克）
與時間
t
（單位：年）滿足函數關系：
30
0
(
)
2
t
M
t
M
?
?
，其中
M
0
為
t=0
時銫
137
的含量。
已知
t=30
時，銫
137
含量的變化率是
-10In2
（太貝克／年）
，則
M
（
60
）
=
A
．
5
太貝克
B
．
75In2
太貝克
C
．
150In2
太貝克
D
．
150
太貝克
【答案】
D
3.
（北京理）
。根據統計，一名工作組裝第
x
件某產品所用的時間（單位：分鐘）為
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
x
A
c
A
x
x
c
x
f
,
,
,
)
(
（
A
，
C
為常數）
。已知工人組裝第
4
件產品用時
30
分鐘，組裝第
A
件產品用時
15
分鐘，那么
C
和
A
的值分別是
A
．
75
，
25
B
．
75
，
16
C
．
60
，
25
D
．
60
，
16
【答案】
D
4
．
（陜西理）
植樹節某班
20
名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距
10
米。開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取
樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為
（米）
。
【答案】
2000
5
．
（湖北理）
《九章算術》
“竹九節”問題：現有一根
9
節的竹子，自上而下各節的容積成等
差數列，
上面
4
節的容積共為
3
升，
下面
3
節的容積共
4
升，
則第
5
節的容積為
升。
【答案】
67
66
6.
（湖北理）
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大
橋上的車流速度
v
（單位：千米
/
小時）是車流密度
x
（單位：輛
/
千米）的函數。當橋上
的的車流密度達到
200
輛
/
千米時，造成堵塞，此時車流速度為
0
；當車流密度不超過
20
輛
/
千米時，車流速度為
60
千米
/
小時，研究表明；當
20
200
x
?
?
時，車流速度
v
是車
流密度
x
的一次函數．
（Ⅰ）當
0
200
x
?
?
時，求函數
?
?
v
x
的表達式
;
（Ⅱ）當車流密度
x
為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛
/
每小時）
?
?
?
?
.
f
x
x
v
x
?
可以達到最大，并求出最大值（精確到
1
輛
/
小時）
本小題主要考查函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力。
（滿分
12
分）
解：
（Ⅰ）由題意：當
0
20
,
(
)
60
x
v
x
?
?
?
時
；當
20
200
,
(
)
x
v
x
ax
b
?
?
?
?
時
設
再由已知得
1
,
200
0,
3
20
60,
200
3
a
a
b
a
b
b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解得
故函數
(
)
v
x
的表達式為
60,
0
20,
(
)
1
(200
),20
200
3
x
v
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
60
,
0
20,
(
)
1
(200
),20
200
3
x
x
f
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
當
0
20
,
(
)
x
f
x
?
?
時
為增函數，故當
20
x
?
時，其最大值為
60
×
20=1200
；
當
20
200
x
?
?
時，
2
1
1
(200
)
10000
(
)
(200
)
[
]
3
3
2
3
x
x
f
x
x
x
?
?
?
?
?
?
當且僅當
200
x
x
?
?
，即
100
x
?
時，等號成立。
所以，當
100
,
(
)
x
f
x
?
時
在區間
[20
，
200]
上取得最大值
10000
3
綜上，當
100
x
?
時，
(
)
f
x
在區間
[0
，
200]
上取得最大值
10000
3333
3
?
。
即當車流密度為
100
輛
/
千米時，車流量可以達到最大，最大值約為
3333
輛
/
小時。
7.
（湖南理
20
）
。如圖
6
，長方體物體
E
在雨中沿面
P
（面積為
S
）的垂直方向作勻速移動，
速度為
v
（
v
＞
0
）
，雨速沿
E
移動方向的分速度為
?
?
c
c
R
?
。
E
移動時單位時間內的淋雨
量包括兩部分：
（
1
）
P
或
P
的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與
v
c
?
×S
成正比，比例系數為
1
10
；
（
2
）其它面的淋雨量之和，其值為
1
2
，記
y
為
E
移動過程中的
總淋雨量，當移動距離
d=100
，面積
S=
3
2
時。
（Ⅰ）寫出
y
的表達式
（Ⅱ）
設
0
＜
v
≤
10,0
＜
c
≤
5
，
試根據
c
的不同取值范圍，
確定移動速度
v
，使總淋雨量
y
最少。