1 

歷年高考函數大題分類歸納

一、函數大題

1.(

本小題滿分

13

分）

2011 

設

?

?

nx

mx

x

x

f

?

?

?

2

3

3

1

. 

（

1

）如果

?

?

?

?

3

2

?

?

?

?

x

x

f

x

g

在

2

?

?

x

處取得最小值

5

?

，求

?

?

x

f

的解析式；

（

2

）如果

?

?

?

?

?

?

N

n

m

n

m

,

10

，

?

?

x

f

的單調遞減區間的長度是正整數，試求

m

和

n

的值．

(

注：區間

?

?

b

a

,

的長度為

a

b

?

）

解：

（

1

）已知

?

?

nx

mx

x

x

f

?

?

?

2

3

3

1

，

?

?

n

mx

x

x

f

?

?

?

?

2

2

'

又

?

?

?

?

?

?

3

2

2

3

2

2

'

?

?

?

?

?

?

?

?

n

x

m

x

x

x

f

x

g

?

在

2

?

?

x

處取極值，

則

?

?

?

?

?

?

3

0

2

2

2

2

2

'

?

?

?

?

?

?

?

?

m

m

g

，又在

2

?

?

x

處取最小值

-5. 

則

?

?

?

?

?

?

2

5

3

4

2

2

2

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

n

n

g

?

?

x

x

x

x

f

2

3

3

1

2

3

?

?

?

?

（

2

）要使

?

?

nx

mx

x

x

f

?

?

?

2

3

3

1

單調遞減，則

?

?

0

2

2

'

?

?

?

?

?

n

mx

x

x

f

又遞減區間長度是正整數，所以

?

?

0

2

2

'

?

?

?

?

n

mx

x

x

f

兩根設做

a

，

b

。即有：

b-a

為區間長度。又

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

N

n

m

n

m

n

m

ab

b

a

a

b

,

2

4

4

4

2

2

2

又

b-a

為正整數，且

m+n<10,

所以

m=2

，

n=3

或，

5

,

3

?

?

n

m

符合。

2

．

（本小題滿分

12

分）

2010 

設函數

3

2

(

)

6

3(

2)

2

f

x

x

a

x

ax

?

?

?

?

. 

（

1

）若

(

)

f

x

的兩個極值點為

1

2

,

x

x

，且

1

2

1

x

x

?

，求實數

a

的值；

（

2

）

是否存在實數

a

，

使得

(

)

f

x

是

(

,

)

??

??

上的單調函數？若存在

,

求出

a

的值；

若不存在，說明理由

. 

解：

2

(

)

18

6(

2)

2

f

x

x

a

x

a

?

?

?

?

?

（

1

）由已知有

1

2

(

)

(

)

0

f

x

f

x

?

?

?

?

，從而

1

2

2

1

18

a

x

x

?

?

，所以

9

a

?

；

（

2

）由

2

2

36(

2)

4

18

2

36(

4)

0

a

a

a

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，

所以不存在實數

a

，使得

(

)

f

x

是

R

上的單調函數

. 

2 

3

．

（本小題滿分

12

分）

2009 

設函數

3

2

9

(

)

6

2

f

x

x

x

x

a

?

?

?

?

（

1

）對于任意實數

x

，

(

)

f

x

m

?

?

恒成立，求

m

的最大值；

（

2

）若方程

(

)

0

f

x

?

有且僅有一個實根，求

a

的取值范圍

解：

(1) 

'

2

(

)

3

9

6

3(

1)(

2)

f

x

x

x

x

x

?

?

?

?

?

?

, 

因為

(

,

)

x

?

??

??

,

'

(

)

f

x

m

?

, 

即

2

3

9

(6

)

0

x

x

m

?

?

?

?

恒成立

, 

所以

81

12(6

)

0

m

?

?

?

?

?

, 

得

3

4

m

?

?

，即

m

的最大值為

3

4

?

(2) 

因為

當

1

x

?

時

, 

'

(

)

0

f

x

?

;

當

1

2

x

?

?

時

, 

'

(

)

0

f

x

?

;

當

2

x

?

時

, 

'

(

)

0

f

x

?

; 

所以

當

1

x

?

時

,

(

)

f

x

取極大值

5

(1)

2

f

a

?

?

; 

當

2

x

?

時

,

(

)

f

x

取極小值

(2)

2

f

a

?

?

; 

故當

(2)

0

f

?

或

(1)

0

f

?

時

, 

方程

(

)

0

f

x

?

僅有一個實根

. 

解得

2

a

?

或

5

2

a

?

. 

4

．已知函數

4

3

2

2

4

1

1

(

)

(

0)

4

3

f

x

x

ax

a

x

a

a

?

?

?

?

?

  2008 

（

1

）求函數

(

)

y

f

x

?

的單調區間；

（

2

）若函數

(

)

y

f

x

?

的圖像與直線

1

y

?

恰有兩個交點，求

a

的取值范圍．

解：

（

1

）因為

3

2

2

(

)

2

(

2

)(

)

f

x

x

ax

a

x

x

x

a

x

a

?

?

?

?

?

?

?

令

(

)

0

f

x

?

?

得

1

2

3

2

,

0,

x

a

x

x

a

?

?

?

?

由

0

a

?

時，

(

)

f

x

?

在

(

)

0

f

x

?

?

根的左右的符號如下表所示

x

(

,

2

)

a

??

?

2

a

?

(

2

,0)

a

?

0

(0,

)

a

a

(

,

)

a

??

(

)

f

x

?

?

0

?

0

?

0

?

(

)

f

x

極小值

極大值

極小值

所以

(

)

f

x

的遞增區間為

(

2

,0)

(

,

)

a

a

?

??

與

；

(

)

f

x

的遞減區間為

(

2

)

(0

)

a

a

??

?

，

與

，